高代-矩阵秩的相关公式

发布网友 发布时间：2024-05-06 03:30

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一、分块矩阵的秩

让我们从基础开始，理解分块矩阵的秩。当矩阵 分解为分块对角矩阵 A = [A11 | A12]，其中 A11 和 A12 分别是子矩阵，秩的计算规则是这样的：

证明提示：通过对矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，秩即非零行的个数。

接下来，对于 分块上三角矩阵 A = [A11 | A12 | A13]，若 A11 非奇异或 A12 可由 A11 的列向量生成，秩的性质如下：

如果 A11 非奇异，秩为 max{rank(A11), rank(A12)}；若 A12 可由 A11 的列向量表示，秩为 rank(A11)。

证明提示：通过最高阶子式来验证(1)，并利用(1)的结论推导(2)。

对于 行分块矩阵 A = [B1 | B2]，其秩揭示了向量组的关系，如：

若 B1 的列向量组可由 B2 表示，秩为 rank(B2)；若两者相互独立，秩为 min{rank(B1), rank(B2)}.

证明提示：利用列向量组的线性表示，找到极大无关组(3.1)，再通过极大无关组确定秩(3.2)。

矩阵运算与秩的交互

矩阵的运算也影响秩的计算。首先，矩阵乘积的秩满足：

设 A = [A1 | A2]，B = [B1 | B2]，则 rank(AB) = rank(A1B1 + A2B2)

证明提示：通过向量组的组合来理解乘积矩阵。

矩阵和的秩则遵循：

设 C = A + B，若 A 和 B 的列向量组相互线性表示，rank(C) = min{rank(A), rank(B)}

证明提示：利用(3.2)的结论，分析向量组的线性关系。

特殊矩阵的秩特性

特殊矩阵的秩也显示出独特性。例如，实数域上转置矩阵乘积的秩规则：

设 A 是实数域上的矩阵，rank(AT * A) = rank(A)

证明提示：证明 AT A 和 A 的秩相同，通过方程组的关系来理解。

而伴随矩阵的秩则与行列式相关：

设 A 是 n 级非奇异矩阵，rank(adj(A)) = n-1

证明提示：首先证明伴随矩阵的行列式非零，再利用行列式最高阶子式和(11.2)推导。

秩不等式的揭示

Sylvester秩不等式揭示了矩阵间秩的比较：

设 A 和 B 是矩阵， rank(A) + rank(B) ≥ rank(A + B)

当 A = B 时，不等式变为等式。

Frobenius秩不等式进一步拓展了这个概念：

设 A, B, C 是矩阵，rank(A) + rank(B) + rank(C) ≥ rank(A + B + C)

同样，当其中任意两个矩阵相等时，秩关系会更紧密。